La muerte de John Conway: ¿Puedes resolver sus acertijos?

Estos últimos días los amigos del John Conway han compartido en rede su pésame. En sus mensajes se comunica que el genio matemático falleció con 82 años el pasado 11 de abril. Según comunican algunos allegados, el motivo de la defunción fueron las graves complicaciones pulmonares derivadas de una infección por SARS-CoV-2. No obstante, su defunción todavía no ha sido confirmada por sus familiares ni por las instituciones académicas con las que guardaba relación. En cualquier caso, Conway se ha ganado un lugar en nuestro recuerdo y de este modo, la inmortalidad.

Parte de su legado matemático es perenne y se mantendrá muchos años después de su muerte. La labor de Conway fue tremendamente amplia, haciendo aportes significativos a multitud de ramas de las matemáticas e incluso incursionando esporádicamente en otras disciplinas hermanas, como en la física e incluso (aunque humildemente) en la filosofía. En este artículo hablaremos de algunos de los acertijos y juegos que propuso, sencillos y fáciles de entender, perfectos para retarnos durante estos días de confinamiento. No obstante, la naturaleza de muchas de sus contribuciones resulta compleja de transmitir, por lo que popularmente suele pasarse por alto. Nosotros queremos dar, al menos, una pincelada que haga justicia a la faceta profesional de la que él mismo más se enorgullecía. Los números surreales son un ejemplo.

El matemático tras los juegos

Del mismo modo que los números enteros están formados por aquellos con los que aprendemos a contar (1, 2, 3, 4…), sus inversos (-1, -2, -3, -4…) y el cero; o que los racionales son todos aquellos que pueden expresarse como la fracción de dos números enteros, Conway propuso los números surreales. Estos incluyen a todos los racionales, así como los infinitos, y los infinitesimales (cantidades infinitamente pequeñas, algo así como el número decimal más minúsculo que puedas imaginar, compuesto por un cero seguido de una coma, infinitos ceros, y un uno al final) Por supuesto, esto no fue todo, para crear un sistema numérico no solo hay que agrupar estos símbolos, sino diseñar las normas que te permitan obtener todos los números de ese sistema, unos a partir de otros.

Por abstracto que esto parezca, tiene aplicación en campos como la teoría de juegos. Del mismo modo que la notación de la flecha encadenada de Conway permite trabajar con números verdaderamente grandes para los que ni siquiera la científica alcanza (en notación científica un millón se expresa como 10 elevado al número de ceros que tenga, en este caso 6) El trabajo de Conway es extenso y, sobre todo, complejo, pero su producción tiene una cara B que ha encandilado a muchos, tanto profesionales como aficionados. Porque como ya hemos dicho en alguna ocasión, las matemáticas son un reto, un acertijo y bajo la luz correcta se presentan como algunos de los juegos más adictivos que existen.

La escalada hasta el primo

La escalada hasta un primo es un ejemplo de esos “juegos” a los que Conway dedicó tantas tardes. La premisa es sencilla. Primero toma un número entero positivo cualquiera y encuentra qué números primos hay que multiplicar para obtenerlo. En el caso de que cogiéramos 6 este estaría compuesto de un 2 y un 3. Recordemos que los números primos son todos aquellos enteros mayores o iguales que dos que, solo al dividirlos entre ellos mismos y el 1 nos dan otro número entero, esto es, sin decimales (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…). El segundo paso consiste en tomar esos números, ordenarlos de menor a mayor y los concaternarlos formando un nuevo número, o, dicho de otro modo, que los unas: 6 son 2 y 3, por lo que obtenemos 23. El tercer paso es repetir lo anterios hasta conseguir un número primo. Oh, espera. Que 23 ya es un primo. En este caso ha sido rápido, apenas ha escalado el número hasta encontrar nuestro objetivo, pero no siempre es tan fácil.

Ahí está la gracia, prueba con algunos números, reta a alguien a encontrar, a ojo, el número que menos tenga que escalar hasta encontrar un primo, como si hicierais una carrera. Pero por lo que más quieras, ten cuidado con lo que elijas. Te daré la pista de que el número 20 necesita repetir el proceso más de 100 veces, obteniendo unos números casi imposibles de trabajar a mano. Pero hay casos peores.

Conway propuso una conjetura, y es que cualquier número entero sometido a este procedimiento acabaría devolviendo un número primo. Es más, llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad. Finalmente,la conjetura resultó ser falsa, existen números como el “13.532.385.396.179” propuesto por James Davis que se devuelven a sí mismos al ser descompuestos en números primos, entrando en un bucle sin fin del que sabemos que no podrá salir un primo. Esto se conoce como un contraejemplo y es todo lo que hace falta para desmontar una conjetura. Aunque, por supuesto, no es el único número que entra en bucle, así que otra actividad para tu cuarentena podría ser descubrir otros bucles como él. No obstante, también podrías probar algo más clásico, como adivinar cómo sigue esta serie: 1, 11, 21, 1211…

Look and say

Es posible que no sea la primera vez que la ves, pero ahora ya sabes quién la diseñó. El mecanismo es sencillo, se llama serie de Look and say, que en inglés significa “mira y di”, porque eso es todo lo que tienes que hacer. Primero vemos un uno, eso es 1 1, así que 11. Ahora hay dos unos, esto es 2 1 por lo que 21. Teniendo un dos y un uno es 1 2 y 1 1, que es 1211, por lo que el siguiente será 111221. Sin embargo, el trabajo de nuestro matemático no terminó ahí, sino que descubrió algo más: la constante de Conway.

Prueba a dividir el número de dígitos de cada paso de la serie entre el que lo precede. Como 11 tiene dos dígitos dividirás 2 entre 1, que son los dígitos del primer término (casualmente 1). Esto se seguirá de 2/2, luego 4/2 y a medida que avances verás que el resultado de estas divisiones va cambiando cada vez menos, acercándose a un extraño número que es la dichosa constante de Conway: 1,303577269 ¿No es curioso? Entiendo que pueda no parecerlo, pero es que en el repertorio de Conway no solo había juegos ocultos en la matemática, sino matemáticas ocultas en juegos.

El juego del drago

Ahora sí, hablamos de un juego en toda regla diseñado por John Conway en 1967. Tal vez hayas escuchado referirse a él como “brotes”, pero si no es así busca papel, lápiz y un rival, porque las normas son sencillas.

Primero tendrás que dibujar en el papel dos puntos más o menos separados. El siguiente paso será que tu rival trace una línea que salga de un brote y termine en otro (o en el mismo) a esto le llamaremos “rama”. Una vez hecho esto tendrá que dibujar otro punto, un nuevo brote sobre cualquier tramo de la rama. Al hacerlo el turno pasa inmediatamente a ti que tendrás que repetir sus pasos, pero teniendo en cuenta unas normas básicas.

Una rama no puede cortarse a sí misma ni a otras. La rama no puede atravesar brotes a medio camino, solo al salir y al entrar. Un brote no puede tener más de tres ramas, por lo que alcanzado este número“muere”. Para ganar tienes que conseguir que tu rival no pueda dibujar una nueva rama sin saltarse las normas que acabamos de comentar. Puede parecer lioso, pero es cuestión de jugar un par de partidas. En cualquier caso y aunque no lo parezca, lo que estamos haciendo con esto son matemáticas, concretamente teoría de grafos, que estudian cómo se conectan esos brotes a los que llaman “nodos” mediante las ramas que se conocen como “aristas”. Prueba a jugar algunas veces, pero si no te convence piensa que siempre quedará el fútbol, el fútbol de filósofos, claro.

Fútbol de filósofos

También conocido como Phutball, no tiene nada que ver con el famoso sketch de los Monty Python. Para este juego necesitaremos un tablero de 19 por 15 casillas, una ficha blanca y al menos 10 negras. Tal vez no tengas todo esto en casa, pero puedes dibujar el tablero y recortar las fichas, es cuestión de tijeras y un bolígrafo.

Colócate frente a tu rival y estira el tablero de forma que la parte larga se aleje de ti. Ahora sitúa la ficha blanca en el centro, será la pelota y vuestro objetivo es llevarla hasta la fila de casillas más lejana a vuestra posición, la que tenga en frente vuestro rival, vamos, a la portería contraria. Para ello iréis colocando por turnos fichas negras, que son los jugadores. Una vez haya al menos un jugador en el campo podréis decidir entre poner una nueva ficha negra o mover la pelota, pero no de cualquier forma. Esta viajará en línea recta sobre las fichas negras hasta encontrar una casilla vacía. Y eso es todo lo que necesitas saber, solo queda ponerlo en práctica.

Aunque, también puede ser que no tengas ahora mismo tijeras papel y lápiz a mano, porque en este siglo digital ¿quién los necesita? Por suerte, Conway tiene un último juego que proponerte, aunque más que un juego, es un videojuego, por lo que solo necesitarás tu ordenador e internet.

El juego de la vida

Si ya conocías la figura de Conway es posible que te sientas algo indignado. Hemos esperado hasta este momento, el final del artículo, para hablar de su trabajo más conocido, de aquello por lo que se volvió famoso cuando el divulgador matemático Martin Gardner escribió en el Scientific American su columna más conocida. Hablamos del juego de la vida.

Entiendo la indignación, pero existe un motivo para haber procedido así. Aunque parezca mentira, el propio Conway había relatado estar algo cansado de dicho juego. Le apenaba en cierto modo pasar a la historia popular por algo que él consideraba menor, cuando su trabajo era mucho más relevante. En algunos momentos, él mismo cuenta que llegó a “odiar” un poco a su creación. Pero ¿qué clase de juego puede levantar tantas pasiones? La respuesta no es sencilla, porque no es un juego al uso y sus personajes son autómatas celulares.

En él encontraremos un tablero lleno de casillas, cada una representa una célula. Cuando está coloreada la célula se considera viva, si pierde el color entenderemos que la célula ha muerto. Antes de empezar el juego puedes distribuir las células vivas como quieras, pero en cuanto lo pongas en marcha verás cómo cambian. En cada turno hay células que mueren y otras que nacen siguiendo solo dos normas. Una célula muerta puede revivir si está rodeada de otras tres. Por otro lado, morirá de soledad si no tiene contacto con al menos dos vecinas, pero si se está en contacto con cuatro también morirá por superpoblación. La dinámica es muy sencilla, pero no te engañes, el resultado es extremadamente complejo, de hecho, parecen organismos vivos.

Este experimento computacional sigue atrayendo a expertos que estudian las formas que surgen de estas interacciones. Algunas parecen desplazarse, comerse a otras o dividirse. Las hay que encuentran un equilibrio, repitiendo ciclos como las manecillas de un reloj y mientras, existen otras que simplemente se agotan hasta desaparecer. Multitud de seres digitales que puedes crear tan solo visitando este enlace y diseñando tu población inicial de células.

Se han hecho infinidad de variantes de este juego y con él se han podido construir máquinas digitales de todo tipo, diseñando funciones complejas, como si se tratara de un lenguaje de programación cualquiera. Después de todo lo contado ha quedado claro que Conway es una de esas mentes prolíficas donde las haya, pero no creas que hemos dejado vacío el tintero, ni por asomo. Podríamos dedicar toda una serie de artículos a explicar sus trabajos y sus juegos. No obstante, en algún momento hay que detenerse. De hecho, en algún momento todo se detiene, incluso los autómatas celulares de Conway se terminan desvaneciendo. El paso del tiempo lo consume todo y nos deja cada vez un poco más solos. Perdemos momentos, oportunidades y referentes. La vida de John Conway duró ocho décadas, pero su obra es mucho más larga, porque, aunque sus células hayan muerto, los patrones que han creado perdurarán, resonando en las futuras generaciones, perpetuándose durante siglos.

QUE NO TE LA CUELEN:

• John Conway no era informático, aunque tenía grandes conocimientos de computación y se valía de ello para desarrollar su matemática.
• A pesar de que la mayor parte de sus obituarios resaltan la importancia de su “Juego de la vida” no era, ni de lejos, la creación que él más valoraba y mucho menos la más relevante científicamente. Sí era, sin embargo y en parte a su pesar, su contribución más popularizada.

REFERENCIAS (MLA):

• Wolfram S. A New Kind Of Science. Champaign, Ill: Wolfram Media; 2002.
• Roberts S. Genius At Play. New York [etc.]: Bloomsbury; 2016.
• John Horton Conway. Dof.princeton.edu. https://dof.princeton.edu/sites/dof/files/John%20Horton%20Conway%202013%20Book.pdf. Published 2020. Accessed April 13, 2020.